电磁场与电磁波

目录页：

返回页：

电磁场与电磁波

电子科学与技术

类似页：

半导体器件

半导体材料

集成电路设计

静态电磁场的模型推导

1、静态电场的基本方程和条件

由于是静态，所以▽×E=0，

结合▽*D=ρ，就是静电场的方程。

两者之间的本构关系：

D=εE，

边界条件的话，切向连续，法向不连续。

引入电位函数φ（r）,使得E（r）=-▽φ（r），即使用标量场的梯度来表示矢量场。这样做的好处是标量场梯度的散度有简化式。

由此可以得到泊松方程：

▽²φ（r）=-ρ/ε

泊松方程的边界条件：

导体表面：对于边界处的电势应为常数，电势的一阶法向倒数为-ρs/ε。

对于非导体，ρs=0。

利用电势求解电场需要注意边界条件的确定。

电势的定义中有负号保证概念的收敛，这在计算中要小心。

例题1：电偶极子的电位函数

φ(r)=q/4πε*(1/r1-1/r2)

直接根据几何关系就可以得到r1和r2；

根据电位可以直接求出电场强度。

例题2：拉普拉斯方程的计算

在空间处的电荷密度分布为零时的方程，注意可以有线电荷的存在，其边界条件需要使用第二类边界条件。

导体系统的电容：

C=q/U,这是电容的计算式。

由此可以看出，要求C，就得在已知q的情况下求出U来。U，就是电势差，也就是相对电位。所以要根据q求出φ来。

直接看具体的例子：

例1：双导体系统

导体线的电位函数E（r）=ρl/2πε*(1/r),可以得到两根导体线对某点的场强。这部分的内容有点忽略了，后面会在关键词中补充。

根据E（r）可以得到电位差U，具体的方法就是牛顿莱布尼兹公式，已知梯度求原函数。

最后带入计算式即可。注意电荷密度代入电荷量的条件是计算时使用电荷密度计算场强。

部分电容的求导：

就是多个导体构成的电容符合部分电容构成的电路环路的复合。

静电力：根据库伦定律就可以得到电场之间的作用力。但在实际的计算中，不可能每次都利用微分方程建模求解。这里可以

利用电势带来的能量的概念来求解力。

直接上例题吧：

在电容器之间加入一个介电常数为ε的介质，可以求解静电力的大小。

首先，更据电容的定义是C=ε*s/l. 可以得到电容的两种介质中的表达式，并且并联相加。

储存的能量We=0.5*C*U0^2,这个公式比较好推，就是W=qU，We=1/2qU=1/2CU²

再有F=dWe/dx,即可得到电场力的值。

也可以利用电荷不变来求解F，结果是一样的。

过程就是将能量表示为q和C的表达式。

2、恒定电场的基本方程和边界条件

对比静电场，恒定电场就是将电位移矢量D变成了J，本构关系变成了J=σE。

对应的物理量：C->G(电导）。

两者的物理基础都是电荷密度不发生改变。

注意J和电流I的转化关系，即I=J*S（横截面积）

3、恒定磁场的分析

前面只考虑了麦克斯韦方程组中的2，4式，1，3方程也是可以描述恒定磁场的概念。

基本方程就是麦克斯韦1、3方程。本构关系为B=μH，边界条件为H切向Js，B法向连续。

与电位的引入一样，磁位A也被引入。

B=▽×A（引入的是矢量场的旋度）

则有▽A=0，使得A为无散场，可以减少不必要的计算。

至于为什么选择B这个有旋场，主要是和D=εE对应，有H=B/μ，可以在解得泊松方程时形式对应。

继续看A，B=▽×A，则H=1/μ*▽×A；

由麦式1得到▽²H=-μJ，（这里有一个化简▽×▽×A=▽（▽A）-▽²A）

这就和前面的静电场的泊松方程对应上了。

参照静电位的表达式可以得到磁位A的表达式：

A=μ/4π*∫s（Js/(r-r`)ds）+C,

就是将ε换成了1/μ，ρs换成了Js。

这里有一个类比的概念：磁矩Pm=IS，（电偶极子=qd）都是考虑到计算的简化。

电场有电容，磁场就是有电感L，

L=Ψ/I, Ψ为磁通。

电感的组成比电容要复杂一点，电感包括内自感和外自感两个部分。

所谓的内自感就是在导线内部的自感，这部分的电流随r变化，所以磁通计算时考虑电流的变化。

在导线外的自感则是外自感，电流恒定，可以利用简单的公式计算。

注意，计算磁场使用安培环路定理会更快（规则图形），就是磁场强度的环流等于穿过的电流。（麦克斯韦1式）

在两根独立导线之间也可以计算，但是还是使用的B，而非A，这里可以看出A的作用主要还是构建泊松方程，对于计算的贡献不大。

除了上面的自感，互感也是重要的一部分。

互感的推导过程中使用过了A，其他还是没有考虑到A。

互感的计算和自感类似，只不过是根据一个源求另外区域的磁通。

还有更加复杂的模型，需要使用其他坐标系来计算的，这是需要自己考虑。

老规矩，接下来就是能量。

Wm=1/2∫V（J*AdV），和We=1/2*qU类似，只不过由于环路需要积分。

这个是电流内部的磁场能量。

对于整个空间，Wm=1/2*∫V（H*BdV）

磁场能量密度就是被积的物理量wm=1/2H*B;

这样的转化就将能量的求磁场强度。又一次成功的避开了A。

能量过后就是磁场力。

磁场力可以由安培力的公式求解，但使用能力和功的对应可以和静电力联系起来。

Fx=dWm/dx (I为常数）

使用源计算场能量Wm=1/2*L1*I1²+L2*I2²+M*I*I2；

得到Fx=I1*I2*dM/dx

对于M的求解在前面有，注意推导。比较复杂。

4、静态场的边值问题及解的唯一性

静态场的边界条件主要是一类为0导已知，二类为一导已知，三类为一导和二导已知。

唯一性定理：对于特定的场的方程，只有一解。

5、镜像法

所谓镜像就是使用假设的方法，将所需的计算结果不变的条件下映入其他的对称结构。

具体的模型比较复杂，使用模型即可。

（1）点电荷对无限大导体平面的镜像

原理就是利用无限大导体平面的电荷边界条件求出镜像后的电荷量为-q

（2）线电荷的镜像

ρs对应-ρs，h对应-h

计算时可以直接根据镜像法得，镜像法的证明就自行理解。

（3）导体球面的镜像

接地时，q`=-aq/d ; d`=a²/d

不接地时：q``=-q`,q`=-aq/d,d`=a²/d,其中q``位于球心。

（4）圆柱面的镜像

ρl`=-ρl , d`=a²/d,注意线电荷的参数变成了1/2επ

当然，也可以将其看为圆柱整体镜像。这样可以解决界面的影响，

再利用圆柱的镜像得到双导线的镜像：

ρl`=-ρl`,b=（h²-a²）^0.5,描述了圆柱的偏移量。

（5）介质平面的镜像

点电荷对介质平面的镜像：

对于介质一中的电位，q`=（ε1-ε2）/（ε1+ε2）*q

对于介质二中的电位求解： q``=-q`.

简而言之，就是介质2对介质1作用时位于对称位置，对本身作用是位于原位置，且取反。

线电流对介质的镜像：

I`=（μ2-μ1）/（μ2+μ1）*I，I``=-I`.

和点电荷的顺序取反。

A磁位与电位的表达式类似，注意记忆。

6、分离变量法

用于求解二维变量的解，需要将不相关的量分离。这部分的内容和前面的镜像法一样，直接使用实际的物理模型才能理解。

这个方法算是老朋友了，从量子力学，数理方程，到现在的电磁场，作为一个减少变量的求解方法，使用范围极广。

三种坐标系的求解方法：

（1）直角坐标系

X(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)

Y(y)=Csinh(ky)+Dcosh(ky)

（2）柱坐标系

Ψ（φ）=Acoskφ+Bsinkφ

R（ρ）=Cρ^k+Dρ^-k

（3）球坐标系

这部分的内容就不记忆了，比较复杂。

重要的名词解释

物理模型：

实战模型：